Objectifs de la leçon
À l’issue de cette leçon, vous saurez définir et distinguer croissance linéaire et croissance exponentielle, calculer l’effectif d’une population à partir d’un taux d’accroissement, déterminer un temps de doublement, et reconnaître les situations biologiques correspondant à chaque modèle.
1. Modéliser une population
Un modèle mathématique est une représentation simplifiée d’un phénomène réel par des équations. Il permet de faire des prédictions et de tester des hypothèses. Tout modèle repose sur des hypothèses simplificatrices — les identifier est essentiel pour évaluer ses limites.
En démographie, on note :
- N(t) : effectif de la population à l’instant t
- N₀ : effectif initial (à t = 0)
- r : taux d’accroissement intrinsèque (par individu et par unité de temps)
- ΔN : variation de l’effectif pendant un intervalle de temps
2. Croissance linéaire (arithmétique)
Dans un modèle de croissance linéaire, la population augmente d’un nombre fixe d’individus par unité de temps. L’incrément ΔN est constant.
Équation : N(t) = N₀ + a × t
avec a le nombre d’individus ajoutés par unité de temps (constante).
Représentation graphique : droite de pente a — la courbe de N en fonction de t est une droite.
Exemples biologiques de croissance quasi-linéaire :
- Population humaine mondiale de ~1000 à ~1800 (croissance lente, environ +70 millions/siècle)
- Certaines populations d’arbres en forêt stable
- Colonisation lente d’un milieu par une espèce à faible taux de reproduction
Interprétation : la croissance linéaire suppose que le nombre d’individus qui s’ajoutent ne dépend pas de la taille de la population — comme si un « apport extérieur » constant alimentait la population.
3. Croissance exponentielle (géométrique)
Dans un modèle de croissance exponentielle, chaque individu produit en moyenne r nouveaux individus par unité de temps. La variation ΔN est proportionnelle à N : plus la population est grande, plus elle croît vite.
Équation différentielle : dN/dt = r × N
Solution : N(t) = N₀ × e^(r × t)
avec e ≈ 2,718 (base des logarithmes naturels) et r le taux d’accroissement intrinsèque (unité : par individu et par unité de temps).
Pour les populations à générations discrètes (insectes annuels, bactéries en divisions) :
N(t) = N₀ × λᵗ avec λ = e^r (taux de multiplication fini par génération)
Représentation graphique :
- En coordonnées normales : courbe en J (accélération continue)
- En coordonnées semi-logarithmiques (log de N en ordonnée) : droite de pente r
Temps de doublement : temps au bout duquel la population double. On pose N(t) = 2×N₀ :
2×N₀ = N₀ × e^(r × t_d) → 2 = e^(r × t_d) → ln(2) = r × t_d → t_d = ln(2) / r ≈ 0,693 / r
La règle des 70
Si r est exprimé en pourcentage par an : t_d ≈ 70 / r (en années). Exemple : si r = 2 %/an → t_d ≈ 35 ans. Si r = 7 %/an → t_d ≈ 10 ans. Cette règle empirique est très utilisée en économie et en démographie.
Exemples biologiques de croissance exponentielle :
- Bactéries en culture illimitée : Escherichia coli à 37 °C se divise toutes les 20 min → doublement de la population toutes les 20 min
- Populations d’insectes au printemps en l’absence de prédateurs
- Population humaine mondiale de 1800 à 1970 (~1,8 %/an → doublement ~40 ans)
- Espèces invasives dans un milieu sans prédateurs (ex. lapins en Australie)
4. Comparer les deux modèles
La différence fondamentale est la nature de l’accroissement :
- Linéaire : ΔN = constante → le nombre d’individus ajoutés ne dépend pas de N
- Exponentiel : ΔN = r × N → le nombre d’individus ajoutés est proportionnel à N (chaque individu contribue au même rythme)
Conséquence : pour des effectifs initiaux et des taux comparables, la croissance exponentielle dépasse rapidement la croissance linéaire — et l’écart se creuse de façon dramatique sur le long terme.
Modèle vs réalité
La croissance exponentielle ne peut se maintenir indéfiniment dans la réalité : les ressources (nourriture, espace, eau) sont finies, les prédateurs et les maladies augmentent avec la densité. Aucune population réelle ne croît exponentiellement pour toujours — le modèle exponentiel est valide seulement tant que les ressources ne sont pas limitantes (phase initiale ou introduction dans un milieu vierge).
5. Application numérique
Exemple 1 — Bactéries : une population bactérienne initiale de N₀ = 1 000 bactéries se divise toutes les 30 min (r = 2 divisions/h). Quel est l’effectif après 5 heures ?
N(5) = 1 000 × 2^(2×5) = 1 000 × 2^10 = 1 000 × 1 024 = 1 024 000 bactéries
Exemple 2 — Population humaine : en 1800, la population mondiale était ~1 milliard avec r ≈ 0,5 %/an. Temps de doublement : t_d = 70 / 0,5 = 140 ans → la population atteignait ~2 milliards vers 1940, ce qui correspond à la réalité historique.
Points clés à retenir
- Linéaire : N(t) = N₀ + a×t, graphe en droite, ΔN constant
- Exponentiel : N(t) = N₀ × e^(r×t), graphe en J, ΔN proportionnel à N
- Temps de doublement : t_d = ln(2)/r ≈ 0,693/r (ou 70/r si r en %/an)
- Graphe semi-log : la croissance exponentielle donne une droite
- La croissance exponentielle est réelle mais toujours temporaire — les ressources finies y mettent fin
Mémo express
Linéaire : +a individus par unité de temps (constant)
Exponentiel : ×e^r par unité de temps (proportionnel à N)
t_d = ln(2)/r ≈ 0,693/r (ou règle des 70 si r en %)
Semi-log : exponentielle → droite ; linéaire → courbe concave
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre r (taux d’accroissement intrinsèque) et le taux d’accroissement naturel utilisé en démographie humaine ?
Le paramètre r de l’équation N(t) = N₀ × e^(r×t) est le taux d’accroissement intrinsèque ou spécifique : c’est le taux par individu et par unité de temps, en l’absence de tout facteur limitant. En démographie humaine, on utilise souvent le taux d’accroissement naturel = (taux de natalité − taux de mortalité), exprimé en ‰ ou en %. Si la natalité est 20 ‰ et la mortalité 5 ‰, le taux naturel est 15 ‰ = 1,5 %/an = r. Les deux sont équivalents, avec des conventions d’expression différentes.
Pourquoi utilise-t-on un graphique semi-logarithmique pour analyser les croissances exponentielles ?
Un graphique semi-logarithmique place le logarithme de N en ordonnée (log(N)) et le temps t en abscisse. L’équation N = N₀ × e^(rt) donne log(N) = log(N₀) + r × t — c’est l’équation d’une droite de pente r ! Deux avantages : (1) une croissance exponentielle devient une droite, facile à identifier et à mesurer (la pente donne r directement) ; (2) on peut comparer des populations d’effectifs très différents sur le même graphique sans qu’une courbe en écrase d’autres. Si la courbe log(N) vs t est une droite, la croissance est exponentielle ; si c’est une courbe, elle ne l’est pas.
Comment peut-on calculer le taux d’accroissement r d’une population à partir de données ?
Si on connaît l’effectif à deux instants t₁ et t₂ : r = ln(N(t₂)/N(t₁)) / (t₂ − t₁). Par exemple, si une population passe de 1 000 à 2 000 en 5 ans : r = ln(2000/1000) / 5 = ln(2) / 5 ≈ 0,693 / 5 ≈ 0,139 /an ≈ 13,9 %/an. On peut aussi tracer log(N) vs t, tracer la droite, et lire la pente (qui est r en unités logarithmiques naturelles). En pratique, les démographes utilisent des registres de natalité et de mortalité pour calculer r directement : r = b − d avec b le taux de natalité et d le taux de mortalité (par individu et par unité de temps).
La population mondiale a-t-elle vraiment crû exponentiellement au XXe siècle ?
Oui, de façon très prononcée entre ~1950 et ~1990. Le taux d’accroissement a atteint un pic de ~2,1 %/an en 1970, ce qui donnait un temps de doublement de ~33 ans. La population mondiale a effectivement doublé entre 1960 (~3 milliards) et 1999 (~6 milliards) — 39 ans pour doubler. Depuis les années 1990, le taux d’accroissement mondial diminue (1 %/an en 2020, ~0,8 %/an en 2025), signe d’une sortie progressive de la phase exponentielle. La courbe mondiale ressemble maintenant davantage à une courbe logistique (en S) qu’à une exponentielle pure.
Si r est négatif, que se passe-t-il ?
Un taux d’accroissement r négatif signifie que la population diminue exponentiellement : N(t) = N₀ × e^(r×t) avec r < 0 donne une courbe décroissante. La population ne s’effondre pas instantanément — elle suit une courbe exponentielle décroissante qui tend asymptotiquement vers zéro. Le « temps de demi-vie » (temps pour que la population soit divisée par 2) est t_{1/2} = ln(2)/|r|. Des exemples : certaines populations de cétacés après surpêche des années 1950-1970 avaient r négatif ; certains pays (Japon, certains pays d’Europe de l’Est) ont actuellement r légèrement négatif.
Pour aller plus loin
Contenu rédigé pour Terminale — Enseignement Scientifique · reussir-svt.com
Sources : ONU, World Population Prospects (2022) ; Verhulst (1838), modèle logistique ; Malthus (1798), Essai sur le principe de population ; Programme officiel ES Terminale (BO 2020).